Радиокружок привлекать я бы не стал.
Погасла подсветка - это, скорее всего, перегорела лампочка. Кстати, лампочек там две, одна подсвечивает экран, другая - надписи над кнопками.
Часы разбираются довольно просто. Сначала нужно подцепить ногтем край декоративной облицовки и вынуть ее. Сверху и снизу прибора будут видны защелки. Их нужно аккуратно отогнуть в сторону центра прибора, и вытянуть его. Либо можно снять магнитолу и просто вытолкнуть его с обратной стороны, засунув пальцы под панельку. С обратной стороны - разъем и две лампы в углублениях. Советую поменять обе, чтобы два раза не лазить. Корпус прибора состоит из двух половинок. Он соединяются двумя защелками, одна сверху по центру, другая - снизу. Куда их отгибать, я уже точно не помню, но помню, что разбирался он элементарно. На одной половинке - печатная плата, на другой - экран, кнопки, плата кнопок и световод, который просто вынимается.
Часто проблема заключается в пропадании контакта в разъеме, соединяющим эти две платы. Иногда достаточно просто разобрать и собрать БК, но для верности лучше поскоблить отверткой штырьки разъема или (лучше) протереть их контакт-спреем. Затем все собирается в обратном порядке и, возможно, все проблемы уйдут.
Если кнопки все равно будут плохо нажиматься, надо сделать профилактику самим кнопкам. Плата кнопок держится на передней половине корпуса двумя саморезами под маленькую крестовую отвертку. Сами кнопки, насколько я помню - это такая резиновая фиговинка с черными токопроводящими вставками, которые прижимаются к плате. В пультах телевизоров и аналогичной техники бывают такие же клавиатуры. Вероятно, загрязнена плата или эти вставки. Их можно аккуратно протереть тряпочкой, если не поможет - со спиртом. Сам экран лучше не трогать. Затем все собирается в обратном порядке.